\(\int \frac {\cos ^4(c+d x) (A+C \cos ^2(c+d x))}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx\) [585]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 514 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {\left (2 A b^2+\left (20 a^2+b^2\right ) C\right ) x}{2 b^6}+\frac {\left (8 a A b^8-a^7 b^2 (2 A-69 C)+7 a^5 b^4 (A-12 C)-8 a^3 b^6 (A-5 C)-20 a^9 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{\sqrt {a-b} b^6 \sqrt {a+b} \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {a \left (a^4 b^2 (6 A-167 C)-a^2 b^4 (17 A-146 C)+2 b^6 (13 A-12 C)+60 a^6 C\right ) \sin (c+d x)}{6 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (12 A b^6+a^4 b^2 (2 A-53 C)+20 a^6 C+a^2 b^4 (A+48 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

1/2*(2*A*b^2+(20*a^2+b^2)*C)*x/b^6-1/6*a*(a^4*b^2*(6*A-167*C)-a^2*b^4*(17*A-146*C)+2*b^6*(13*A-12*C)+60*a^6*C)
*sin(d*x+c)/b^5/(a^2-b^2)^3/d+1/2*(a^4*b^2*(A-27*C)-a^2*b^4*(2*A-23*C)+b^6*(6*A-C)+10*a^6*C)*cos(d*x+c)*sin(d*
x+c)/b^4/(a^2-b^2)^3/d-1/3*(A*b^2+C*a^2)*cos(d*x+c)^4*sin(d*x+c)/b/(a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^3+1/6*(4*A*b^4
-5*a^4*C+a^2*b^2*(A+10*C))*cos(d*x+c)^3*sin(d*x+c)/b^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*cos(d*x+c))^2-1/6*(12*A*b^6+a^4*b^2*
(2*A-53*C)+20*a^6*C+a^2*b^4*(A+48*C))*cos(d*x+c)^2*sin(d*x+c)/b^3/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*cos(d*x+c))+(8*a*A*b^8-a^
7*b^2*(2*A-69*C)+7*a^5*b^4*(A-12*C)-8*a^3*b^6*(A-5*C)-20*a^9*C)*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1
/2))/b^6/(a^2-b^2)^3/d/(a-b)^(1/2)/(a+b)^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 2.35 (sec) , antiderivative size = 514, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.212, Rules used = {3127, 3126, 3128, 3102, 2814, 2738, 211} \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=-\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \sin (c+d x) \cos ^4(c+d x)}{3 b d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {x \left (C \left (20 a^2+b^2\right )+2 A b^2\right )}{2 b^6}+\frac {\left (-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)+4 A b^4\right ) \sin (c+d x) \cos ^3(c+d x)}{6 b^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (10 a^6 C+a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 b^4 d \left (a^2-b^2\right )^3}-\frac {a \left (60 a^6 C+a^4 b^2 (6 A-167 C)-a^2 b^4 (17 A-146 C)+2 b^6 (13 A-12 C)\right ) \sin (c+d x)}{6 b^5 d \left (a^2-b^2\right )^3}-\frac {\left (20 a^6 C+a^4 b^2 (2 A-53 C)+a^2 b^4 (A+48 C)+12 A b^6\right ) \sin (c+d x) \cos ^2(c+d x)}{6 b^3 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (-20 a^9 C-a^7 b^2 (2 A-69 C)+7 a^5 b^4 (A-12 C)-8 a^3 b^6 (A-5 C)+8 a A b^8\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{b^6 d \sqrt {a-b} \sqrt {a+b} \left (a^2-b^2\right )^3} \]

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

((2*A*b^2 + (20*a^2 + b^2)*C)*x)/(2*b^6) + ((8*a*A*b^8 - a^7*b^2*(2*A - 69*C) + 7*a^5*b^4*(A - 12*C) - 8*a^3*b
^6*(A - 5*C) - 20*a^9*C)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(Sqrt[a - b]*b^6*Sqrt[a + b]*(a^2
- b^2)^3*d) - (a*(a^4*b^2*(6*A - 167*C) - a^2*b^4*(17*A - 146*C) + 2*b^6*(13*A - 12*C) + 60*a^6*C)*Sin[c + d*
x])/(6*b^5*(a^2 - b^2)^3*d) + ((a^4*b^2*(A - 27*C) - a^2*b^4*(2*A - 23*C) + b^6*(6*A - C) + 10*a^6*C)*Cos[c +
d*x]*Sin[c + d*x])/(2*b^4*(a^2 - b^2)^3*d) - ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]^4*Sin[c + d*x])/(3*b*(a^2 - b^2)*d*
(a + b*Cos[c + d*x])^3) + ((4*A*b^4 - 5*a^4*C + a^2*b^2*(A + 10*C))*Cos[c + d*x]^3*Sin[c + d*x])/(6*b^2*(a^2 -
b^2)^2*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2) - ((12*A*b^6 + a^4*b^2*(2*A - 53*C) + 20*a^6*C + a^2*b^4*(A + 48*C))*Cos[c +
d*x]^2*Sin[c + d*x])/(6*b^3*(a^2 - b^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 2814

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[b*(x/d)
, x] - Dist[(b*c - a*d)/d, Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d
, 0]

Rule 3102

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*((a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)/(b*f*(m + 2))), x] + Dist[1/(
b*(m + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^m*Simp[A*b*(m + 2) + b*C*(m + 1) + (b*B*(m + 2) - a*C)*Sin[e + f*x], x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C, m}, x] &&  !LtQ[m, -1]

Rule 3126

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C - B*c*d + A*d^2))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)
*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) +
(c*C - B*d)*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (d*(A*(a*d*(n + 2) - b*c*(n + 1)) + B*(b*d*(n + 1) - a*c*(n + 2))) - C*(b*
c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] + b*(d*(B*c - A*d)*(m + n + 2) - C*(c^2*(m + 1) + d^2*(n +
1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2
, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3127

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (C_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(c^2*C + A*d^2))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^m*((c + d*Si
n[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(n + 1)*(c^2 - d^2))), x] + Dist[1/(d*(n + 1)*(c^2 - d^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^
(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)*Simp[A*d*(b*d*m + a*c*(n + 1)) + c*C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) - (A*d*(a*d*(n
+ 2) - b*c*(n + 1)) - C*(b*c*d*(n + 1) - a*(c^2 + d^2*(n + 1))))*Sin[e + f*x] - b*(A*d^2*(m + n + 2) + C*(c^2
*(m + 1) + d^2*(n + 1)))*Sin[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] && GtQ[m, 0] && LtQ[n, -1]

Rule 3128

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_.) + (B_.)
*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-C)*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e
+ f*x])^m*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(d*f*(m + n + 2))), x] + Dist[1/(d*(m + n + 2)), Int[(a + b*Sin[e + f*
x])^(m - 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[a*A*d*(m + n + 2) + C*(b*c*m + a*d*(n + 1)) + (d*(A*b + a*B)*(m + n +
2) - C*(a*c - b*d*(m + n + 1)))*Sin[e + f*x] + (C*(a*d*m - b*c*(m + 1)) + b*B*d*(m + n + 2))*Sin[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d
^2, 0] && GtQ[m, 0] &&  !(IGtQ[n, 0] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[a, 0] && NeQ[c, 0])))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}-\frac {\int \frac {\cos ^3(c+d x) \left (4 \left (A b^2+a^2 C\right )-3 a b (A+C) \cos (c+d x)-\left (2 A b^2+5 a^2 C-3 b^2 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx}{3 b \left (a^2-b^2\right )} \\ & = -\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (3 \left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right )-2 a b \left (5 A b^2-\left (a^2-6 b^2\right ) C\right ) \cos (c+d x)+2 \left (a^2 b^2 (A-18 C)-3 b^4 (2 A-C)+10 a^4 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (12 A b^6+a^4 b^2 (2 A-53 C)+20 a^6 C+a^2 b^4 (A+48 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (2 \left (12 A b^6+a^4 b^2 (2 A-53 C)+20 a^6 C+a^2 b^4 (A+48 C)\right )-a b \left (a^2 b^2 (5 A-8 C)+5 a^4 C+2 b^4 (5 A+9 C)\right ) \cos (c+d x)-6 \left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right ) \cos ^2(c+d x)\right )}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{6 b^3 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (12 A b^6+a^4 b^2 (2 A-53 C)+20 a^6 C+a^2 b^4 (A+48 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\int \frac {-6 a \left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right )+2 b \left (a^4 b^2 (A-25 C)+10 a^6 C+3 b^6 (2 A+C)+a^2 b^4 (8 A+27 C)\right ) \cos (c+d x)+2 a \left (a^4 b^2 (6 A-167 C)-a^2 b^4 (17 A-146 C)+2 b^6 (13 A-12 C)+60 a^6 C\right ) \cos ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{12 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {a \left (a^4 b^2 (6 A-167 C)-a^2 b^4 (17 A-146 C)+2 b^6 (13 A-12 C)+60 a^6 C\right ) \sin (c+d x)}{6 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (12 A b^6+a^4 b^2 (2 A-53 C)+20 a^6 C+a^2 b^4 (A+48 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\int \frac {-6 a b \left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right )-6 \left (a^2-b^2\right )^3 \left (2 A b^2+\left (20 a^2+b^2\right ) C\right ) \cos (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{12 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (2 A b^2+\left (20 a^2+b^2\right ) C\right ) x}{2 b^6}-\frac {a \left (a^4 b^2 (6 A-167 C)-a^2 b^4 (17 A-146 C)+2 b^6 (13 A-12 C)+60 a^6 C\right ) \sin (c+d x)}{6 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (12 A b^6+a^4 b^2 (2 A-53 C)+20 a^6 C+a^2 b^4 (A+48 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (8 a A b^8-a^7 b^2 (2 A-69 C)+7 a^5 b^4 (A-12 C)-8 a^3 b^6 (A-5 C)-20 a^9 C\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 b^6 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (2 A b^2+\left (20 a^2+b^2\right ) C\right ) x}{2 b^6}-\frac {a \left (a^4 b^2 (6 A-167 C)-a^2 b^4 (17 A-146 C)+2 b^6 (13 A-12 C)+60 a^6 C\right ) \sin (c+d x)}{6 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (12 A b^6+a^4 b^2 (2 A-53 C)+20 a^6 C+a^2 b^4 (A+48 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (8 a A b^8-a^7 b^2 (2 A-69 C)+7 a^5 b^4 (A-12 C)-8 a^3 b^6 (A-5 C)-20 a^9 C\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{b^6 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {\left (2 A b^2+\left (20 a^2+b^2\right ) C\right ) x}{2 b^6}+\frac {\left (8 a A b^8-a^7 b^2 (2 A-69 C)+7 a^5 b^4 (A-12 C)-8 a^3 b^6 (A-5 C)-20 a^9 C\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{\sqrt {a-b} b^6 \sqrt {a+b} \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {a \left (a^4 b^2 (6 A-167 C)-a^2 b^4 (17 A-146 C)+2 b^6 (13 A-12 C)+60 a^6 C\right ) \sin (c+d x)}{6 b^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^4 b^2 (A-27 C)-a^2 b^4 (2 A-23 C)+b^6 (6 A-C)+10 a^6 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 b^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}-\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos ^4(c+d x) \sin (c+d x)}{3 b \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^3}+\frac {\left (4 A b^4-5 a^4 C+a^2 b^2 (A+10 C)\right ) \cos ^3(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))^2}-\frac {\left (12 A b^6+a^4 b^2 (2 A-53 C)+20 a^6 C+a^2 b^4 (A+48 C)\right ) \cos ^2(c+d x) \sin (c+d x)}{6 b^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (verified)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(1452\) vs. \(2(514)=1028\).

Time = 9.61 (sec) , antiderivative size = 1452, normalized size of antiderivative = 2.82 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\frac {a \left (2 a^6 A b^2-7 a^4 A b^4+8 a^2 A b^6-8 A b^8+20 a^8 C-69 a^6 b^2 C+84 a^4 b^4 C-40 a^2 b^6 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right )}{b^6 \left (a^2-b^2\right )^3 \sqrt {-a^2+b^2} d}-\frac {96 a^9 A b^2 (c+d x)-144 a^7 A b^4 (c+d x)-144 a^5 A b^6 (c+d x)+336 a^3 A b^8 (c+d x)-144 a A b^{10} (c+d x)+960 a^{11} C (c+d x)-1392 a^9 b^2 C (c+d x)-1512 a^7 b^4 C (c+d x)+3288 a^5 b^6 C (c+d x)-1272 a^3 b^8 C (c+d x)-72 a b^{10} C (c+d x)+288 a^8 A b^3 (c+d x) \cos (c+d x)-792 a^6 A b^5 (c+d x) \cos (c+d x)+648 a^4 A b^7 (c+d x) \cos (c+d x)-72 a^2 A b^9 (c+d x) \cos (c+d x)-72 A b^{11} (c+d x) \cos (c+d x)+2880 a^{10} b C (c+d x) \cos (c+d x)-7776 a^8 b^3 C (c+d x) \cos (c+d x)+6084 a^6 b^5 C (c+d x) \cos (c+d x)-396 a^4 b^7 C (c+d x) \cos (c+d x)-756 a^2 b^9 C (c+d x) \cos (c+d x)-36 b^{11} C (c+d x) \cos (c+d x)+144 a^7 A b^4 (c+d x) \cos (2 (c+d x))-432 a^5 A b^6 (c+d x) \cos (2 (c+d x))+432 a^3 A b^8 (c+d x) \cos (2 (c+d x))-144 a A b^{10} (c+d x) \cos (2 (c+d x))+1440 a^9 b^2 C (c+d x) \cos (2 (c+d x))-4248 a^7 b^4 C (c+d x) \cos (2 (c+d x))+4104 a^5 b^6 C (c+d x) \cos (2 (c+d x))-1224 a^3 b^8 C (c+d x) \cos (2 (c+d x))-72 a b^{10} C (c+d x) \cos (2 (c+d x))+24 a^6 A b^5 (c+d x) \cos (3 (c+d x))-72 a^4 A b^7 (c+d x) \cos (3 (c+d x))+72 a^2 A b^9 (c+d x) \cos (3 (c+d x))-24 A b^{11} (c+d x) \cos (3 (c+d x))+240 a^8 b^3 C (c+d x) \cos (3 (c+d x))-708 a^6 b^5 C (c+d x) \cos (3 (c+d x))+684 a^4 b^7 C (c+d x) \cos (3 (c+d x))-204 a^2 b^9 C (c+d x) \cos (3 (c+d x))-12 b^{11} C (c+d x) \cos (3 (c+d x))-96 a^8 A b^3 \sin (c+d x)+228 a^6 A b^5 \sin (c+d x)-288 a^4 A b^7 \sin (c+d x)-144 a^2 A b^9 \sin (c+d x)-960 a^{10} b C \sin (c+d x)+2232 a^8 b^3 C \sin (c+d x)-1086 a^6 b^5 C \sin (c+d x)-750 a^4 b^7 C \sin (c+d x)+270 a^2 b^9 C \sin (c+d x)-6 b^{11} C \sin (c+d x)-120 a^7 A b^4 \sin (2 (c+d x))+360 a^5 A b^6 \sin (2 (c+d x))-480 a^3 A b^8 \sin (2 (c+d x))-1200 a^9 b^2 C \sin (2 (c+d x))+3300 a^7 b^4 C \sin (2 (c+d x))-2772 a^5 b^6 C \sin (2 (c+d x))+372 a^3 b^8 C \sin (2 (c+d x))+60 a b^{10} C \sin (2 (c+d x))-44 a^6 A b^5 \sin (3 (c+d x))+128 a^4 A b^7 \sin (3 (c+d x))-144 a^2 A b^9 \sin (3 (c+d x))-440 a^8 b^3 C \sin (3 (c+d x))+1253 a^6 b^5 C \sin (3 (c+d x))-1143 a^4 b^7 C \sin (3 (c+d x))+279 a^2 b^9 C \sin (3 (c+d x))-9 b^{11} C \sin (3 (c+d x))-30 a^7 b^4 C \sin (4 (c+d x))+90 a^5 b^6 C \sin (4 (c+d x))-90 a^3 b^8 C \sin (4 (c+d x))+30 a b^{10} C \sin (4 (c+d x))+3 a^6 b^5 C \sin (5 (c+d x))-9 a^4 b^7 C \sin (5 (c+d x))+9 a^2 b^9 C \sin (5 (c+d x))-3 b^{11} C \sin (5 (c+d x))}{96 b^6 \left (-a^2+b^2\right )^3 d (a+b \cos (c+d x))^3} \]

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^4*(A + C*Cos[c + d*x]^2))/(a + b*Cos[c + d*x])^4,x]

[Out]

(a*(2*a^6*A*b^2 - 7*a^4*A*b^4 + 8*a^2*A*b^6 - 8*A*b^8 + 20*a^8*C - 69*a^6*b^2*C + 84*a^4*b^4*C - 40*a^2*b^6*C)
*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(b^6*(a^2 - b^2)^3*Sqrt[-a^2 + b^2]*d) - (96*a^9*A*b^2*
(c + d*x) - 144*a^7*A*b^4*(c + d*x) - 144*a^5*A*b^6*(c + d*x) + 336*a^3*A*b^8*(c + d*x) - 144*a*A*b^10*(c + d*
x) + 960*a^11*C*(c + d*x) - 1392*a^9*b^2*C*(c + d*x) - 1512*a^7*b^4*C*(c + d*x) + 3288*a^5*b^6*C*(c + d*x) - 1
272*a^3*b^8*C*(c + d*x) - 72*a*b^10*C*(c + d*x) + 288*a^8*A*b^3*(c + d*x)*Cos[c + d*x] - 792*a^6*A*b^5*(c + d*
x)*Cos[c + d*x] + 648*a^4*A*b^7*(c + d*x)*Cos[c + d*x] - 72*a^2*A*b^9*(c + d*x)*Cos[c + d*x] - 72*A*b^11*(c +
d*x)*Cos[c + d*x] + 2880*a^10*b*C*(c + d*x)*Cos[c + d*x] - 7776*a^8*b^3*C*(c + d*x)*Cos[c + d*x] + 6084*a^6*b^
5*C*(c + d*x)*Cos[c + d*x] - 396*a^4*b^7*C*(c + d*x)*Cos[c + d*x] - 756*a^2*b^9*C*(c + d*x)*Cos[c + d*x] - 36*
b^11*C*(c + d*x)*Cos[c + d*x] + 144*a^7*A*b^4*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x)] - 432*a^5*A*b^6*(c + d*x)*Cos[2*(c +
d*x)] + 432*a^3*A*b^8*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x)] - 144*a*A*b^10*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x)] + 1440*a^9*b^2*C*(c
+ d*x)*Cos[2*(c + d*x)] - 4248*a^7*b^4*C*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x)] + 4104*a^5*b^6*C*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x
)] - 1224*a^3*b^8*C*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x)] - 72*a*b^10*C*(c + d*x)*Cos[2*(c + d*x)] + 24*a^6*A*b^5*(c + d*
x)*Cos[3*(c + d*x)] - 72*a^4*A*b^7*(c + d*x)*Cos[3*(c + d*x)] + 72*a^2*A*b^9*(c + d*x)*Cos[3*(c + d*x)] - 24*A
*b^11*(c + d*x)*Cos[3*(c + d*x)] + 240*a^8*b^3*C*(c + d*x)*Cos[3*(c + d*x)] - 708*a^6*b^5*C*(c + d*x)*Cos[3*(c
+ d*x)] + 684*a^4*b^7*C*(c + d*x)*Cos[3*(c + d*x)] - 204*a^2*b^9*C*(c + d*x)*Cos[3*(c + d*x)] - 12*b^11*C*(c
+ d*x)*Cos[3*(c + d*x)] - 96*a^8*A*b^3*Sin[c + d*x] + 228*a^6*A*b^5*Sin[c + d*x] - 288*a^4*A*b^7*Sin[c + d*x]
- 144*a^2*A*b^9*Sin[c + d*x] - 960*a^10*b*C*Sin[c + d*x] + 2232*a^8*b^3*C*Sin[c + d*x] - 1086*a^6*b^5*C*Sin[c
+ d*x] - 750*a^4*b^7*C*Sin[c + d*x] + 270*a^2*b^9*C*Sin[c + d*x] - 6*b^11*C*Sin[c + d*x] - 120*a^7*A*b^4*Sin[2
*(c + d*x)] + 360*a^5*A*b^6*Sin[2*(c + d*x)] - 480*a^3*A*b^8*Sin[2*(c + d*x)] - 1200*a^9*b^2*C*Sin[2*(c + d*x)
] + 3300*a^7*b^4*C*Sin[2*(c + d*x)] - 2772*a^5*b^6*C*Sin[2*(c + d*x)] + 372*a^3*b^8*C*Sin[2*(c + d*x)] + 60*a*
b^10*C*Sin[2*(c + d*x)] - 44*a^6*A*b^5*Sin[3*(c + d*x)] + 128*a^4*A*b^7*Sin[3*(c + d*x)] - 144*a^2*A*b^9*Sin[3
*(c + d*x)] - 440*a^8*b^3*C*Sin[3*(c + d*x)] + 1253*a^6*b^5*C*Sin[3*(c + d*x)] - 1143*a^4*b^7*C*Sin[3*(c + d*x
)] + 279*a^2*b^9*C*Sin[3*(c + d*x)] - 9*b^11*C*Sin[3*(c + d*x)] - 30*a^7*b^4*C*Sin[4*(c + d*x)] + 90*a^5*b^6*C
*Sin[4*(c + d*x)] - 90*a^3*b^8*C*Sin[4*(c + d*x)] + 30*a*b^10*C*Sin[4*(c + d*x)] + 3*a^6*b^5*C*Sin[5*(c + d*x)
] - 9*a^4*b^7*C*Sin[5*(c + d*x)] + 9*a^2*b^9*C*Sin[5*(c + d*x)] - 3*b^11*C*Sin[5*(c + d*x)])/(96*b^6*(-a^2 + b
^2)^3*d*(a + b*Cos[c + d*x])^3)

Maple [A] (verified)

Time = 3.98 (sec) , antiderivative size = 615, normalized size of antiderivative = 1.20

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (\left (-4 C a b -\frac {1}{2} b^{2} C \right ) \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+\left (-4 C a b +\frac {1}{2} b^{2} C \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )^{2}}+\left (2 A \,b^{2}+20 a^{2} C +b^{2} C \right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{b^{6}}-\frac {2 a \left (\frac {\frac {\left (2 A \,a^{4} b^{2}-A \,a^{3} b^{3}-6 A \,a^{2} b^{4}+4 A a \,b^{5}+12 A \,b^{6}+12 C \,a^{6}-3 C \,a^{5} b -34 C \,a^{4} b^{2}+6 C \,a^{3} b^{3}+30 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}+\frac {2 \left (3 A \,a^{4} b^{2}-11 A \,a^{2} b^{4}+18 A \,b^{6}+18 C \,a^{6}-53 C \,a^{4} b^{2}+45 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}+\frac {\left (2 A \,a^{4} b^{2}+A \,a^{3} b^{3}-6 A \,a^{2} b^{4}-4 A a \,b^{5}+12 A \,b^{6}+12 C \,a^{6}+3 C \,a^{5} b -34 C \,a^{4} b^{2}-6 C \,a^{3} b^{3}+30 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (2 A \,a^{6} b^{2}-7 A \,a^{4} b^{4}+8 A \,a^{2} b^{6}-8 A \,b^{8}+20 C \,a^{8}-69 C \,a^{6} b^{2}+84 C \,a^{4} b^{4}-40 C \,a^{2} b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{b^{6}}}{d}\)	\(615\)
default	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (\left (-4 C a b -\frac {1}{2} b^{2} C \right ) \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+\left (-4 C a b +\frac {1}{2} b^{2} C \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{\left (1+\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )^{2}}+\left (2 A \,b^{2}+20 a^{2} C +b^{2} C \right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{b^{6}}-\frac {2 a \left (\frac {\frac {\left (2 A \,a^{4} b^{2}-A \,a^{3} b^{3}-6 A \,a^{2} b^{4}+4 A a \,b^{5}+12 A \,b^{6}+12 C \,a^{6}-3 C \,a^{5} b -34 C \,a^{4} b^{2}+6 C \,a^{3} b^{3}+30 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{5}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}+\frac {2 \left (3 A \,a^{4} b^{2}-11 A \,a^{2} b^{4}+18 A \,b^{6}+18 C \,a^{6}-53 C \,a^{4} b^{2}+45 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{3 \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right )}+\frac {\left (2 A \,a^{4} b^{2}+A \,a^{3} b^{3}-6 A \,a^{2} b^{4}-4 A a \,b^{5}+12 A \,b^{6}+12 C \,a^{6}+3 C \,a^{5} b -34 C \,a^{4} b^{2}-6 C \,a^{3} b^{3}+30 C \,a^{2} b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{3}}+\frac {\left (2 A \,a^{6} b^{2}-7 A \,a^{4} b^{4}+8 A \,a^{2} b^{6}-8 A \,b^{8}+20 C \,a^{8}-69 C \,a^{6} b^{2}+84 C \,a^{4} b^{4}-40 C \,a^{2} b^{6}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{b^{6}}}{d}\)	\(615\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2225\)

[In]

int(cos(d*x+c)^4*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+cos(d*x+c)*b)^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2/b^6*(((-4*C*a*b-1/2*b^2*C)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+(-4*C*a*b+1/2*b^2*C)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(1+tan(1/2*d*x
+1/2*c)^2)^2+1/2*(2*A*b^2+20*C*a^2+C*b^2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)))-2*a/b^6*((1/2*(2*A*a^4*b^2-A*a^3*b^3-6*A
*a^2*b^4+4*A*a*b^5+12*A*b^6+12*C*a^6-3*C*a^5*b-34*C*a^4*b^2+6*C*a^3*b^3+30*C*a^2*b^4)*a*b/(a-b)/(a^3+3*a^2*b+3
*a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^5+2/3*(3*A*a^4*b^2-11*A*a^2*b^4+18*A*b^6+18*C*a^6-53*C*a^4*b^2+45*C*a^2*b^4)*a*
b/(a^2+2*a*b+b^2)/(a^2-2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+1/2*(2*A*a^4*b^2+A*a^3*b^3-6*A*a^2*b^4-4*A*a*b^5+12*A*b
^6+12*C*a^6+3*C*a^5*b-34*C*a^4*b^2-6*C*a^3*b^3+30*C*a^2*b^4)*a*b/(a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1/2*d*x+1
/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2*c)^2+a+b)^3+1/2*(2*A*a^6*b^2-7*A*a^4*b^4+8*A*a^2*b^6-8*A*b^8+
20*C*a^8-69*C*a^6*b^2+84*C*a^4*b^4-40*C*a^2*b^6)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b
)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1163 vs. \(2 (494) = 988\).

Time = 0.56 (sec) , antiderivative size = 2395, normalized size of antiderivative = 4.66 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(6*(20*C*a^10*b^3 + (2*A - 79*C)*a^8*b^5 - 4*(2*A - 29*C)*a^6*b^7 + 2*(6*A - 37*C)*a^4*b^9 - 8*(A - 2*C)
*a^2*b^11 + (2*A + C)*b^13)*d*x*cos(d*x + c)^3 + 18*(20*C*a^11*b^2 + (2*A - 79*C)*a^9*b^4 - 4*(2*A - 29*C)*a^7
*b^6 + 2*(6*A - 37*C)*a^5*b^8 - 8*(A - 2*C)*a^3*b^10 + (2*A + C)*a*b^12)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 18*(20*C*a^12*b
+ (2*A - 79*C)*a^10*b^3 - 4*(2*A - 29*C)*a^8*b^5 + 2*(6*A - 37*C)*a^6*b^7 - 8*(A - 2*C)*a^4*b^9 + (2*A + C)*a^
2*b^11)*d*x*cos(d*x + c) + 6*(20*C*a^13 + (2*A - 79*C)*a^11*b^2 - 4*(2*A - 29*C)*a^9*b^4 + 2*(6*A - 37*C)*a^7*
b^6 - 8*(A - 2*C)*a^5*b^8 + (2*A + C)*a^3*b^10)*d*x - 3*(20*C*a^12 + (2*A - 69*C)*a^10*b^2 - 7*(A - 12*C)*a^8*
b^4 + 8*(A - 5*C)*a^6*b^6 - 8*A*a^4*b^8 + (20*C*a^9*b^3 + (2*A - 69*C)*a^7*b^5 - 7*(A - 12*C)*a^5*b^7 + 8*(A -
5*C)*a^3*b^9 - 8*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(20*C*a^10*b^2 + (2*A - 69*C)*a^8*b^4 - 7*(A - 12*C)*a^6*b^6 +
8*(A - 5*C)*a^4*b^8 - 8*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(20*C*a^11*b + (2*A - 69*C)*a^9*b^3 - 7*(A - 12*C)*a^7*
b^5 + 8*(A - 5*C)*a^5*b^7 - 8*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2
)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x + c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2
*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) - 2*(60*C*a^12*b + (6*A - 227*C)*a^10*b^3 - (23*A - 313*C)*a^8*b^5 + (43*A - 170*C)*
a^6*b^7 - 2*(13*A - 12*C)*a^4*b^9 - 3*(C*a^8*b^5 - 4*C*a^6*b^7 + 6*C*a^4*b^9 - 4*C*a^2*b^11 + C*b^13)*cos(d*x
+ c)^4 + 15*(C*a^9*b^4 - 4*C*a^7*b^6 + 6*C*a^5*b^8 - 4*C*a^3*b^10 + C*a*b^12)*cos(d*x + c)^3 + (110*C*a^10*b^3
+ (11*A - 421*C)*a^8*b^5 - (43*A - 590*C)*a^6*b^7 + 2*(34*A - 171*C)*a^4*b^9 - 9*(4*A - 7*C)*a^2*b^11)*cos(d*
x + c)^2 + 3*(50*C*a^11*b^2 + 5*(A - 38*C)*a^9*b^4 - (20*A - 263*C)*a^7*b^6 + (35*A - 146*C)*a^5*b^8 - (20*A -
23*C)*a^3*b^10)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^8*b^9 - 4*a^6*b^11 + 6*a^4*b^13 - 4*a^2*b^15 + b^17)*d*cos(d*
x + c)^3 + 3*(a^9*b^8 - 4*a^7*b^10 + 6*a^5*b^12 - 4*a^3*b^14 + a*b^16)*d*cos(d*x + c)^2 + 3*(a^10*b^7 - 4*a^8*
b^9 + 6*a^6*b^11 - 4*a^4*b^13 + a^2*b^15)*d*cos(d*x + c) + (a^11*b^6 - 4*a^9*b^8 + 6*a^7*b^10 - 4*a^5*b^12 + a
^3*b^14)*d), 1/6*(3*(20*C*a^10*b^3 + (2*A - 79*C)*a^8*b^5 - 4*(2*A - 29*C)*a^6*b^7 + 2*(6*A - 37*C)*a^4*b^9 -
8*(A - 2*C)*a^2*b^11 + (2*A + C)*b^13)*d*x*cos(d*x + c)^3 + 9*(20*C*a^11*b^2 + (2*A - 79*C)*a^9*b^4 - 4*(2*A -
29*C)*a^7*b^6 + 2*(6*A - 37*C)*a^5*b^8 - 8*(A - 2*C)*a^3*b^10 + (2*A + C)*a*b^12)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 9*(20*
C*a^12*b + (2*A - 79*C)*a^10*b^3 - 4*(2*A - 29*C)*a^8*b^5 + 2*(6*A - 37*C)*a^6*b^7 - 8*(A - 2*C)*a^4*b^9 + (2*
A + C)*a^2*b^11)*d*x*cos(d*x + c) + 3*(20*C*a^13 + (2*A - 79*C)*a^11*b^2 - 4*(2*A - 29*C)*a^9*b^4 + 2*(6*A - 3
7*C)*a^7*b^6 - 8*(A - 2*C)*a^5*b^8 + (2*A + C)*a^3*b^10)*d*x - 3*(20*C*a^12 + (2*A - 69*C)*a^10*b^2 - 7*(A - 1
2*C)*a^8*b^4 + 8*(A - 5*C)*a^6*b^6 - 8*A*a^4*b^8 + (20*C*a^9*b^3 + (2*A - 69*C)*a^7*b^5 - 7*(A - 12*C)*a^5*b^7
+ 8*(A - 5*C)*a^3*b^9 - 8*A*a*b^11)*cos(d*x + c)^3 + 3*(20*C*a^10*b^2 + (2*A - 69*C)*a^8*b^4 - 7*(A - 12*C)*a
^6*b^6 + 8*(A - 5*C)*a^4*b^8 - 8*A*a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(20*C*a^11*b + (2*A - 69*C)*a^9*b^3 - 7*(A - 1
2*C)*a^7*b^5 + 8*(A - 5*C)*a^5*b^7 - 8*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(
sqrt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - (60*C*a^12*b + (6*A - 227*C)*a^10*b^3 - (23*A - 313*C)*a^8*b^5 + (43*A - 170*
C)*a^6*b^7 - 2*(13*A - 12*C)*a^4*b^9 - 3*(C*a^8*b^5 - 4*C*a^6*b^7 + 6*C*a^4*b^9 - 4*C*a^2*b^11 + C*b^13)*cos(d
*x + c)^4 + 15*(C*a^9*b^4 - 4*C*a^7*b^6 + 6*C*a^5*b^8 - 4*C*a^3*b^10 + C*a*b^12)*cos(d*x + c)^3 + (110*C*a^10*
b^3 + (11*A - 421*C)*a^8*b^5 - (43*A - 590*C)*a^6*b^7 + 2*(34*A - 171*C)*a^4*b^9 - 9*(4*A - 7*C)*a^2*b^11)*cos
(d*x + c)^2 + 3*(50*C*a^11*b^2 + 5*(A - 38*C)*a^9*b^4 - (20*A - 263*C)*a^7*b^6 + (35*A - 146*C)*a^5*b^8 - (20*
A - 23*C)*a^3*b^10)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^8*b^9 - 4*a^6*b^11 + 6*a^4*b^13 - 4*a^2*b^15 + b^17)*d*cos
(d*x + c)^3 + 3*(a^9*b^8 - 4*a^7*b^10 + 6*a^5*b^12 - 4*a^3*b^14 + a*b^16)*d*cos(d*x + c)^2 + 3*(a^10*b^7 - 4*a
^8*b^9 + 6*a^6*b^11 - 4*a^4*b^13 + a^2*b^15)*d*cos(d*x + c) + (a^11*b^6 - 4*a^9*b^8 + 6*a^7*b^10 - 4*a^5*b^12
+ a^3*b^14)*d)]

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**4*(A+C*cos(d*x+c)**2)/(a+b*cos(d*x+c))**4,x)

[Out]

Timed out

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1029 vs. \(2 (494) = 988\).

Time = 0.39 (sec) , antiderivative size = 1029, normalized size of antiderivative = 2.00 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^4*(A+C*cos(d*x+c)^2)/(a+b*cos(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

1/6*(6*(20*C*a^9 + 2*A*a^7*b^2 - 69*C*a^7*b^2 - 7*A*a^5*b^4 + 84*C*a^5*b^4 + 8*A*a^3*b^6 - 40*C*a^3*b^6 - 8*A*
a*b^8)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1
/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/((a^6*b^6 - 3*a^4*b^8 + 3*a^2*b^10 - b^12)*sqrt(a^2 - b^2)) - 2*(36*C*a^10*tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^5 - 81*C*a^9*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*A*a^8*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 48*C*a^8*b^2*tan(1/2*d
*x + 1/2*c)^5 - 15*A*a^7*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 213*C*a^7*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*A*a^6*b^4*tan(1
/2*d*x + 1/2*c)^5 - 48*C*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 45*A*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 162*C*a^5*b^5*
tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 6*A*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 90*C*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 60*A*a^3*b
^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 72*C*a^10*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 12*A*a^8*
b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 284*C*a^8*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 56*A*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 392*
C*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 116*A*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 180*C*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3
- 72*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*C*a^10*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 81*C*a^9*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*
A*a^8*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 48*C*a^8*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 15*A*a^7*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 213*C
*a^7*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*A*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 48*C*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 45*A*a^
5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 162*C*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*A*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 90*C*a^4*
b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 60*A*a^3*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 36*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^6*b^5 -
3*a^4*b^7 + 3*a^2*b^9 - b^11)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + a + b)^3) + 3*(20*C*a^2 +
2*A*b^2 + C*b^2)*(d*x + c)/b^6 - 6*(8*C*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + C*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 8*C*a*tan(1/2
*d*x + 1/2*c) - C*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + 1)^2*b^5))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 20.71 (sec) , antiderivative size = 14280, normalized size of antiderivative = 27.78 \[ \int \frac {\cos ^4(c+d x) \left (A+C \cos ^2(c+d x)\right )}{(a+b \cos (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((cos(c + d*x)^4*(A + C*cos(c + d*x)^2))/(a + b*cos(c + d*x))^4,x)

[Out]

(a*atan(((a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^18 + 800*C^2*a^18 + C^2*b^18 - 8*A^2*a*b^17 - 2*C^2*a*b^17 - 800*C
^2*a^17*b + 44*A^2*a^2*b^16 + 48*A^2*a^3*b^15 - 92*A^2*a^4*b^14 - 120*A^2*a^5*b^13 + 156*A^2*a^6*b^12 + 160*A^
2*a^7*b^11 - 164*A^2*a^8*b^10 - 120*A^2*a^9*b^9 + 117*A^2*a^10*b^8 + 48*A^2*a^11*b^7 - 48*A^2*a^12*b^6 - 8*A^2
*a^13*b^5 + 8*A^2*a^14*b^4 + 35*C^2*a^2*b^16 - 68*C^2*a^3*b^15 + 209*C^2*a^4*b^14 - 350*C^2*a^5*b^13 - 45*C^2*
a^6*b^12 + 3640*C^2*a^7*b^11 - 3325*C^2*a^8*b^10 - 10430*C^2*a^9*b^9 + 10385*C^2*a^10*b^8 + 14812*C^2*a^11*b^7
- 14837*C^2*a^12*b^6 - 11522*C^2*a^13*b^5 + 11522*C^2*a^14*b^4 + 4720*C^2*a^15*b^3 - 4720*C^2*a^16*b^2 + 4*A*
C*b^18 - 8*A*C*a*b^17 + 60*A*C*a^2*b^16 - 112*A*C*a^3*b^15 + 276*A*C*a^4*b^14 + 840*A*C*a^5*b^13 - 1284*A*C*a^
6*b^12 - 2240*A*C*a^7*b^11 + 2588*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 - 3124*A*C*a^10*b^8 - 2352*A*C*a^11*b^7 + 23
22*A*C*a^12*b^6 + 952*A*C*a^13*b^5 - 952*A*C*a^14*b^4 - 160*A*C*a^15*b^3 + 160*A*C*a^16*b^2))/(a*b^20 + b^21 -
5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a
^10*b^11 - a^11*b^10) + (a*((4*(8*A*b^27 + 4*C*b^27 - 24*A*a^2*b^25 + 128*A*a^3*b^24 + 40*A*a^4*b^23 - 220*A*a
^5*b^22 - 60*A*a^6*b^21 + 220*A*a^7*b^20 + 60*A*a^8*b^19 - 140*A*a^9*b^18 - 28*A*a^10*b^17 + 52*A*a^11*b^16 +
4*A*a^12*b^15 - 8*A*a^13*b^14 + 52*C*a^2*b^25 - 160*C*a^3*b^24 - 316*C*a^4*b^23 + 816*C*a^5*b^22 + 724*C*a^6*b
^21 - 1764*C*a^7*b^20 - 896*C*a^8*b^19 + 2076*C*a^9*b^18 + 640*C*a^10*b^17 - 1404*C*a^11*b^16 - 248*C*a^12*b^1
5 + 516*C*a^13*b^14 + 40*C*a^14*b^13 - 80*C*a^15*b^12 - 32*A*a*b^26))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23
+ 10*a^4*b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) -
(4*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6
*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2)*(8*a*b^25 - 8*a^2*b^24 - 48*a^3*b^23 + 48*a^4*b^22 + 120*a^
5*b^21 - 120*a^6*b^20 - 160*a^7*b^19 + 160*a^8*b^18 + 120*a^9*b^17 - 120*a^10*b^16 - 48*a^11*b^15 + 48*a^12*b^
14 + 8*a^13*b^13 - 8*a^14*b^12))/((b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10
+ 7*a^12*b^8 - a^14*b^6)*(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 -
10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*
a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2))/(2*(b^20 - 7*a^2*
b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 - a^14*b^6)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7
)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6
*b^2)*1i)/(2*(b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 - a^14*b
^6)) + (a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^18 + 800*C^2*a^18 + C^2*b^18 - 8*A^2*a*b^17 - 2*C^2*a*b^17 - 800*C^2
*a^17*b + 44*A^2*a^2*b^16 + 48*A^2*a^3*b^15 - 92*A^2*a^4*b^14 - 120*A^2*a^5*b^13 + 156*A^2*a^6*b^12 + 160*A^2*
a^7*b^11 - 164*A^2*a^8*b^10 - 120*A^2*a^9*b^9 + 117*A^2*a^10*b^8 + 48*A^2*a^11*b^7 - 48*A^2*a^12*b^6 - 8*A^2*a
^13*b^5 + 8*A^2*a^14*b^4 + 35*C^2*a^2*b^16 - 68*C^2*a^3*b^15 + 209*C^2*a^4*b^14 - 350*C^2*a^5*b^13 - 45*C^2*a^
6*b^12 + 3640*C^2*a^7*b^11 - 3325*C^2*a^8*b^10 - 10430*C^2*a^9*b^9 + 10385*C^2*a^10*b^8 + 14812*C^2*a^11*b^7 -
14837*C^2*a^12*b^6 - 11522*C^2*a^13*b^5 + 11522*C^2*a^14*b^4 + 4720*C^2*a^15*b^3 - 4720*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*
b^18 - 8*A*C*a*b^17 + 60*A*C*a^2*b^16 - 112*A*C*a^3*b^15 + 276*A*C*a^4*b^14 + 840*A*C*a^5*b^13 - 1284*A*C*a^6*
b^12 - 2240*A*C*a^7*b^11 + 2588*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 - 3124*A*C*a^10*b^8 - 2352*A*C*a^11*b^7 + 2322
*A*C*a^12*b^6 + 952*A*C*a^13*b^5 - 952*A*C*a^14*b^4 - 160*A*C*a^15*b^3 + 160*A*C*a^16*b^2))/(a*b^20 + b^21 - 5
*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^1
0*b^11 - a^11*b^10) - (a*((4*(8*A*b^27 + 4*C*b^27 - 24*A*a^2*b^25 + 128*A*a^3*b^24 + 40*A*a^4*b^23 - 220*A*a^5
*b^22 - 60*A*a^6*b^21 + 220*A*a^7*b^20 + 60*A*a^8*b^19 - 140*A*a^9*b^18 - 28*A*a^10*b^17 + 52*A*a^11*b^16 + 4*
A*a^12*b^15 - 8*A*a^13*b^14 + 52*C*a^2*b^25 - 160*C*a^3*b^24 - 316*C*a^4*b^23 + 816*C*a^5*b^22 + 724*C*a^6*b^2
1 - 1764*C*a^7*b^20 - 896*C*a^8*b^19 + 2076*C*a^9*b^18 + 640*C*a^10*b^17 - 1404*C*a^11*b^16 - 248*C*a^12*b^15
+ 516*C*a^13*b^14 + 40*C*a^14*b^13 - 80*C*a^15*b^12 - 32*A*a*b^26))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23 +
10*a^4*b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) + (4
*a*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b
^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2)*(8*a*b^25 - 8*a^2*b^24 - 48*a^3*b^23 + 48*a^4*b^22 + 120*a^5*
b^21 - 120*a^6*b^20 - 160*a^7*b^19 + 160*a^8*b^18 + 120*a^9*b^17 - 120*a^10*b^16 - 48*a^11*b^15 + 48*a^12*b^14
+ 8*a^13*b^13 - 8*a^14*b^12))/((b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 +
7*a^12*b^8 - a^14*b^6)*(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10
*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^
8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2))/(2*(b^20 - 7*a^2*b^
18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 - a^14*b^6)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^
(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b
^2)*1i)/(2*(b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 - a^14*b^6
)))/((8*(8000*C^3*a^19 + 32*A^3*a*b^18 - 4000*C^3*a^18*b + 96*A^3*a^2*b^17 - 128*A^3*a^3*b^16 - 128*A^3*a^4*b^
15 + 220*A^3*a^5*b^14 + 132*A^3*a^6*b^13 - 220*A^3*a^7*b^12 - 68*A^3*a^8*b^11 + 140*A^3*a^9*b^10 + 22*A^3*a^10
*b^9 - 52*A^3*a^11*b^8 - 4*A^3*a^12*b^7 + 8*A^3*a^13*b^6 + 40*C^3*a^3*b^16 - 40*C^3*a^4*b^15 + 1396*C^3*a^5*b^
14 + 204*C^3*a^6*b^13 + 8281*C^3*a^7*b^12 + 16999*C^3*a^8*b^11 - 64479*C^3*a^9*b^10 - 57345*C^3*a^10*b^9 + 155
991*C^3*a^11*b^8 + 82337*C^3*a^12*b^7 - 193689*C^3*a^13*b^6 - 62030*C^3*a^14*b^5 + 135260*C^3*a^15*b^4 + 24400
*C^3*a^16*b^3 - 50800*C^3*a^17*b^2 + 8*A*C^2*a*b^18 + 32*A^2*C*a*b^18 - 8*A*C^2*a^2*b^17 + 448*A*C^2*a^3*b^16
+ 192*A*C^2*a^4*b^15 + 4359*A*C^2*a^5*b^14 + 9657*A*C^2*a^6*b^13 - 25211*A*C^2*a^7*b^12 - 24901*A*C^2*a^8*b^11
+ 53039*A*C^2*a^9*b^10 + 29513*A*C^2*a^10*b^9 - 60729*A*C^2*a^11*b^8 - 19233*A*C^2*a^12*b^7 + 41046*A*C^2*a^1
3*b^6 + 7080*A*C^2*a^14*b^5 - 15360*A*C^2*a^15*b^4 - 1200*A*C^2*a^16*b^3 + 2400*A*C^2*a^17*b^2 + 32*A^2*C*a^2*
b^17 + 672*A^2*C*a^3*b^16 + 1760*A^2*C*a^4*b^15 - 3156*A^2*C*a^5*b^14 - 3196*A^2*C*a^6*b^13 + 5944*A^2*C*a^7*b
^12 + 3448*A^2*C*a^8*b^11 - 6336*A^2*C*a^9*b^10 - 1983*A^2*C*a^10*b^9 + 4152*A^2*C*a^11*b^8 + 684*A^2*C*a^12*b
^7 - 1548*A^2*C*a^13*b^6 - 120*A^2*C*a^14*b^5 + 240*A^2*C*a^15*b^4))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23
+ 10*a^4*b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) - (
a*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^18 + 800*C^2*a^18 + C^2*b^18 - 8*A^2*a*b^17 - 2*C^2*a*b^17 - 800*C^2*a^17*b
+ 44*A^2*a^2*b^16 + 48*A^2*a^3*b^15 - 92*A^2*a^4*b^14 - 120*A^2*a^5*b^13 + 156*A^2*a^6*b^12 + 160*A^2*a^7*b^11
- 164*A^2*a^8*b^10 - 120*A^2*a^9*b^9 + 117*A^2*a^10*b^8 + 48*A^2*a^11*b^7 - 48*A^2*a^12*b^6 - 8*A^2*a^13*b^5
+ 8*A^2*a^14*b^4 + 35*C^2*a^2*b^16 - 68*C^2*a^3*b^15 + 209*C^2*a^4*b^14 - 350*C^2*a^5*b^13 - 45*C^2*a^6*b^12 +
3640*C^2*a^7*b^11 - 3325*C^2*a^8*b^10 - 10430*C^2*a^9*b^9 + 10385*C^2*a^10*b^8 + 14812*C^2*a^11*b^7 - 14837*C
^2*a^12*b^6 - 11522*C^2*a^13*b^5 + 11522*C^2*a^14*b^4 + 4720*C^2*a^15*b^3 - 4720*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*b^18 - 8
*A*C*a*b^17 + 60*A*C*a^2*b^16 - 112*A*C*a^3*b^15 + 276*A*C*a^4*b^14 + 840*A*C*a^5*b^13 - 1284*A*C*a^6*b^12 - 2
240*A*C*a^7*b^11 + 2588*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 - 3124*A*C*a^10*b^8 - 2352*A*C*a^11*b^7 + 2322*A*C*a^1
2*b^6 + 952*A*C*a^13*b^5 - 952*A*C*a^14*b^4 - 160*A*C*a^15*b^3 + 160*A*C*a^16*b^2))/(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^1
9 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 -
a^11*b^10) + (a*((4*(8*A*b^27 + 4*C*b^27 - 24*A*a^2*b^25 + 128*A*a^3*b^24 + 40*A*a^4*b^23 - 220*A*a^5*b^22 -
60*A*a^6*b^21 + 220*A*a^7*b^20 + 60*A*a^8*b^19 - 140*A*a^9*b^18 - 28*A*a^10*b^17 + 52*A*a^11*b^16 + 4*A*a^12*b
^15 - 8*A*a^13*b^14 + 52*C*a^2*b^25 - 160*C*a^3*b^24 - 316*C*a^4*b^23 + 816*C*a^5*b^22 + 724*C*a^6*b^21 - 1764
*C*a^7*b^20 - 896*C*a^8*b^19 + 2076*C*a^9*b^18 + 640*C*a^10*b^17 - 1404*C*a^11*b^16 - 248*C*a^12*b^15 + 516*C*
a^13*b^14 + 40*C*a^14*b^13 - 80*C*a^15*b^12 - 32*A*a*b^26))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23 + 10*a^4*
b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) - (4*a*tan(c
/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*
C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2)*(8*a*b^25 - 8*a^2*b^24 - 48*a^3*b^23 + 48*a^4*b^22 + 120*a^5*b^21 - 1
20*a^6*b^20 - 160*a^7*b^19 + 160*a^8*b^18 + 120*a^9*b^17 - 120*a^10*b^16 - 48*a^11*b^15 + 48*a^12*b^14 + 8*a^1
3*b^13 - 8*a^14*b^12))/((b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b
^8 - a^14*b^6)*(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^1
4 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*
a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2))/(2*(b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*
a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 - a^14*b^6)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8
*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2))/(2*
(b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 - a^14*b^6)) + (a*((8
*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^18 + 800*C^2*a^18 + C^2*b^18 - 8*A^2*a*b^17 - 2*C^2*a*b^17 - 800*C^2*a^17*b + 44*
A^2*a^2*b^16 + 48*A^2*a^3*b^15 - 92*A^2*a^4*b^14 - 120*A^2*a^5*b^13 + 156*A^2*a^6*b^12 + 160*A^2*a^7*b^11 - 16
4*A^2*a^8*b^10 - 120*A^2*a^9*b^9 + 117*A^2*a^10*b^8 + 48*A^2*a^11*b^7 - 48*A^2*a^12*b^6 - 8*A^2*a^13*b^5 + 8*A
^2*a^14*b^4 + 35*C^2*a^2*b^16 - 68*C^2*a^3*b^15 + 209*C^2*a^4*b^14 - 350*C^2*a^5*b^13 - 45*C^2*a^6*b^12 + 3640
*C^2*a^7*b^11 - 3325*C^2*a^8*b^10 - 10430*C^2*a^9*b^9 + 10385*C^2*a^10*b^8 + 14812*C^2*a^11*b^7 - 14837*C^2*a^
12*b^6 - 11522*C^2*a^13*b^5 + 11522*C^2*a^14*b^4 + 4720*C^2*a^15*b^3 - 4720*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*b^18 - 8*A*C*
a*b^17 + 60*A*C*a^2*b^16 - 112*A*C*a^3*b^15 + 276*A*C*a^4*b^14 + 840*A*C*a^5*b^13 - 1284*A*C*a^6*b^12 - 2240*A
*C*a^7*b^11 + 2588*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 - 3124*A*C*a^10*b^8 - 2352*A*C*a^11*b^7 + 2322*A*C*a^12*b^6
+ 952*A*C*a^13*b^5 - 952*A*C*a^14*b^4 - 160*A*C*a^15*b^3 + 160*A*C*a^16*b^2))/(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5
*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11
*b^10) - (a*((4*(8*A*b^27 + 4*C*b^27 - 24*A*a^2*b^25 + 128*A*a^3*b^24 + 40*A*a^4*b^23 - 220*A*a^5*b^22 - 60*A*
a^6*b^21 + 220*A*a^7*b^20 + 60*A*a^8*b^19 - 140*A*a^9*b^18 - 28*A*a^10*b^17 + 52*A*a^11*b^16 + 4*A*a^12*b^15 -
8*A*a^13*b^14 + 52*C*a^2*b^25 - 160*C*a^3*b^24 - 316*C*a^4*b^23 + 816*C*a^5*b^22 + 724*C*a^6*b^21 - 1764*C*a^
7*b^20 - 896*C*a^8*b^19 + 2076*C*a^9*b^18 + 640*C*a^10*b^17 - 1404*C*a^11*b^16 - 248*C*a^12*b^15 + 516*C*a^13*
b^14 + 40*C*a^14*b^13 - 80*C*a^15*b^12 - 32*A*a*b^26))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23 + 10*a^4*b^22
+ 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) + (4*a*tan(c/2 +
(d*x)/2)*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2
*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2)*(8*a*b^25 - 8*a^2*b^24 - 48*a^3*b^23 + 48*a^4*b^22 + 120*a^5*b^21 - 120*a^
6*b^20 - 160*a^7*b^19 + 160*a^8*b^18 + 120*a^9*b^17 - 120*a^10*b^16 - 48*a^11*b^15 + 48*a^12*b^14 + 8*a^13*b^1
3 - 8*a^14*b^12))/((b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 -
a^14*b^6)*(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5
*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b
^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2))/(2*(b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b
^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 - a^14*b^6)))*(-(a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^
8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4 + 69*C*a^6*b^2))/(2*(b^20
- 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^8 - a^14*b^6))))*(-(a + b)^7
*(a - b)^7)^(1/2)*(8*A*b^8 - 20*C*a^8 - 8*A*a^2*b^6 + 7*A*a^4*b^4 - 2*A*a^6*b^2 + 40*C*a^2*b^6 - 84*C*a^4*b^4
+ 69*C*a^6*b^2)*1i)/(d*(b^20 - 7*a^2*b^18 + 21*a^4*b^16 - 35*a^6*b^14 + 35*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 7*a^12*b^
8 - a^14*b^6)) - (atan((((C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(((C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*((4*(8*A*b^
27 + 4*C*b^27 - 24*A*a^2*b^25 + 128*A*a^3*b^24 + 40*A*a^4*b^23 - 220*A*a^5*b^22 - 60*A*a^6*b^21 + 220*A*a^7*b^
20 + 60*A*a^8*b^19 - 140*A*a^9*b^18 - 28*A*a^10*b^17 + 52*A*a^11*b^16 + 4*A*a^12*b^15 - 8*A*a^13*b^14 + 52*C*a
^2*b^25 - 160*C*a^3*b^24 - 316*C*a^4*b^23 + 816*C*a^5*b^22 + 724*C*a^6*b^21 - 1764*C*a^7*b^20 - 896*C*a^8*b^19
+ 2076*C*a^9*b^18 + 640*C*a^10*b^17 - 1404*C*a^11*b^16 - 248*C*a^12*b^15 + 516*C*a^13*b^14 + 40*C*a^14*b^13 -
80*C*a^15*b^12 - 32*A*a*b^26))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23 + 10*a^4*b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*
b^20 - 10*a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*10i + b^2
*(A*1i + (C*1i)/2))*(8*a*b^25 - 8*a^2*b^24 - 48*a^3*b^23 + 48*a^4*b^22 + 120*a^5*b^21 - 120*a^6*b^20 - 160*a^7
*b^19 + 160*a^8*b^18 + 120*a^9*b^17 - 120*a^10*b^16 - 48*a^11*b^15 + 48*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 - 8*a^14*b^12)
)/(b^6*(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^
8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10))))/b^6 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^18 + 800*C^2*a^18 + C^2*b
^18 - 8*A^2*a*b^17 - 2*C^2*a*b^17 - 800*C^2*a^17*b + 44*A^2*a^2*b^16 + 48*A^2*a^3*b^15 - 92*A^2*a^4*b^14 - 120
*A^2*a^5*b^13 + 156*A^2*a^6*b^12 + 160*A^2*a^7*b^11 - 164*A^2*a^8*b^10 - 120*A^2*a^9*b^9 + 117*A^2*a^10*b^8 +
48*A^2*a^11*b^7 - 48*A^2*a^12*b^6 - 8*A^2*a^13*b^5 + 8*A^2*a^14*b^4 + 35*C^2*a^2*b^16 - 68*C^2*a^3*b^15 + 209*
C^2*a^4*b^14 - 350*C^2*a^5*b^13 - 45*C^2*a^6*b^12 + 3640*C^2*a^7*b^11 - 3325*C^2*a^8*b^10 - 10430*C^2*a^9*b^9
+ 10385*C^2*a^10*b^8 + 14812*C^2*a^11*b^7 - 14837*C^2*a^12*b^6 - 11522*C^2*a^13*b^5 + 11522*C^2*a^14*b^4 + 472
0*C^2*a^15*b^3 - 4720*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*b^18 - 8*A*C*a*b^17 + 60*A*C*a^2*b^16 - 112*A*C*a^3*b^15 + 276*A*C*
a^4*b^14 + 840*A*C*a^5*b^13 - 1284*A*C*a^6*b^12 - 2240*A*C*a^7*b^11 + 2588*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 - 3
124*A*C*a^10*b^8 - 2352*A*C*a^11*b^7 + 2322*A*C*a^12*b^6 + 952*A*C*a^13*b^5 - 952*A*C*a^14*b^4 - 160*A*C*a^15*
b^3 + 160*A*C*a^16*b^2))/(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 -
10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10))*1i)/b^6 - ((C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))
*(((C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*((4*(8*A*b^27 + 4*C*b^27 - 24*A*a^2*b^25 + 128*A*a^3*b^24 + 40*A*a^4*b^
23 - 220*A*a^5*b^22 - 60*A*a^6*b^21 + 220*A*a^7*b^20 + 60*A*a^8*b^19 - 140*A*a^9*b^18 - 28*A*a^10*b^17 + 52*A*
a^11*b^16 + 4*A*a^12*b^15 - 8*A*a^13*b^14 + 52*C*a^2*b^25 - 160*C*a^3*b^24 - 316*C*a^4*b^23 + 816*C*a^5*b^22 +
724*C*a^6*b^21 - 1764*C*a^7*b^20 - 896*C*a^8*b^19 + 2076*C*a^9*b^18 + 640*C*a^10*b^17 - 1404*C*a^11*b^16 - 24
8*C*a^12*b^15 + 516*C*a^13*b^14 + 40*C*a^14*b^13 - 80*C*a^15*b^12 - 32*A*a*b^26))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24
- 5*a^3*b^23 + 10*a^4*b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a
^11*b^15) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(8*a*b^25 - 8*a^2*b^24 - 48*a^3*b^23 + 4
8*a^4*b^22 + 120*a^5*b^21 - 120*a^6*b^20 - 160*a^7*b^19 + 160*a^8*b^18 + 120*a^9*b^17 - 120*a^10*b^16 - 48*a^1
1*b^15 + 48*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 - 8*a^14*b^12))/(b^6*(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^1
7 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10))))/b^6 - (8*tan
(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^18 + 800*C^2*a^18 + C^2*b^18 - 8*A^2*a*b^17 - 2*C^2*a*b^17 - 800*C^2*a^17*b + 44*A^2*
a^2*b^16 + 48*A^2*a^3*b^15 - 92*A^2*a^4*b^14 - 120*A^2*a^5*b^13 + 156*A^2*a^6*b^12 + 160*A^2*a^7*b^11 - 164*A^
2*a^8*b^10 - 120*A^2*a^9*b^9 + 117*A^2*a^10*b^8 + 48*A^2*a^11*b^7 - 48*A^2*a^12*b^6 - 8*A^2*a^13*b^5 + 8*A^2*a
^14*b^4 + 35*C^2*a^2*b^16 - 68*C^2*a^3*b^15 + 209*C^2*a^4*b^14 - 350*C^2*a^5*b^13 - 45*C^2*a^6*b^12 + 3640*C^2
*a^7*b^11 - 3325*C^2*a^8*b^10 - 10430*C^2*a^9*b^9 + 10385*C^2*a^10*b^8 + 14812*C^2*a^11*b^7 - 14837*C^2*a^12*b
^6 - 11522*C^2*a^13*b^5 + 11522*C^2*a^14*b^4 + 4720*C^2*a^15*b^3 - 4720*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*b^18 - 8*A*C*a*b^
17 + 60*A*C*a^2*b^16 - 112*A*C*a^3*b^15 + 276*A*C*a^4*b^14 + 840*A*C*a^5*b^13 - 1284*A*C*a^6*b^12 - 2240*A*C*a
^7*b^11 + 2588*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 - 3124*A*C*a^10*b^8 - 2352*A*C*a^11*b^7 + 2322*A*C*a^12*b^6 + 9
52*A*C*a^13*b^5 - 952*A*C*a^14*b^4 - 160*A*C*a^15*b^3 + 160*A*C*a^16*b^2))/(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3
*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^1
0))*1i)/b^6)/(((C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(((C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*((4*(8*A*b^27 + 4*C*b
^27 - 24*A*a^2*b^25 + 128*A*a^3*b^24 + 40*A*a^4*b^23 - 220*A*a^5*b^22 - 60*A*a^6*b^21 + 220*A*a^7*b^20 + 60*A*
a^8*b^19 - 140*A*a^9*b^18 - 28*A*a^10*b^17 + 52*A*a^11*b^16 + 4*A*a^12*b^15 - 8*A*a^13*b^14 + 52*C*a^2*b^25 -
160*C*a^3*b^24 - 316*C*a^4*b^23 + 816*C*a^5*b^22 + 724*C*a^6*b^21 - 1764*C*a^7*b^20 - 896*C*a^8*b^19 + 2076*C*
a^9*b^18 + 640*C*a^10*b^17 - 1404*C*a^11*b^16 - 248*C*a^12*b^15 + 516*C*a^13*b^14 + 40*C*a^14*b^13 - 80*C*a^15
*b^12 - 32*A*a*b^26))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23 + 10*a^4*b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*
a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (
C*1i)/2))*(8*a*b^25 - 8*a^2*b^24 - 48*a^3*b^23 + 48*a^4*b^22 + 120*a^5*b^21 - 120*a^6*b^20 - 160*a^7*b^19 + 16
0*a^8*b^18 + 120*a^9*b^17 - 120*a^10*b^16 - 48*a^11*b^15 + 48*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 - 8*a^14*b^12))/(b^6*(a*
b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5
*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10))))/b^6 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*A^2*b^18 + 800*C^2*a^18 + C^2*b^18 - 8*A^
2*a*b^17 - 2*C^2*a*b^17 - 800*C^2*a^17*b + 44*A^2*a^2*b^16 + 48*A^2*a^3*b^15 - 92*A^2*a^4*b^14 - 120*A^2*a^5*b
^13 + 156*A^2*a^6*b^12 + 160*A^2*a^7*b^11 - 164*A^2*a^8*b^10 - 120*A^2*a^9*b^9 + 117*A^2*a^10*b^8 + 48*A^2*a^1
1*b^7 - 48*A^2*a^12*b^6 - 8*A^2*a^13*b^5 + 8*A^2*a^14*b^4 + 35*C^2*a^2*b^16 - 68*C^2*a^3*b^15 + 209*C^2*a^4*b^
14 - 350*C^2*a^5*b^13 - 45*C^2*a^6*b^12 + 3640*C^2*a^7*b^11 - 3325*C^2*a^8*b^10 - 10430*C^2*a^9*b^9 + 10385*C^
2*a^10*b^8 + 14812*C^2*a^11*b^7 - 14837*C^2*a^12*b^6 - 11522*C^2*a^13*b^5 + 11522*C^2*a^14*b^4 + 4720*C^2*a^15
*b^3 - 4720*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*b^18 - 8*A*C*a*b^17 + 60*A*C*a^2*b^16 - 112*A*C*a^3*b^15 + 276*A*C*a^4*b^14 +
840*A*C*a^5*b^13 - 1284*A*C*a^6*b^12 - 2240*A*C*a^7*b^11 + 2588*A*C*a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 - 3124*A*C*a^
10*b^8 - 2352*A*C*a^11*b^7 + 2322*A*C*a^12*b^6 + 952*A*C*a^13*b^5 - 952*A*C*a^14*b^4 - 160*A*C*a^15*b^3 + 160*
A*C*a^16*b^2))/(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^1
4 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10)))/b^6 - (8*(8000*C^3*a^19 + 32*A^3*a*b^18 - 4000*C^3*a^18
*b + 96*A^3*a^2*b^17 - 128*A^3*a^3*b^16 - 128*A^3*a^4*b^15 + 220*A^3*a^5*b^14 + 132*A^3*a^6*b^13 - 220*A^3*a^7
*b^12 - 68*A^3*a^8*b^11 + 140*A^3*a^9*b^10 + 22*A^3*a^10*b^9 - 52*A^3*a^11*b^8 - 4*A^3*a^12*b^7 + 8*A^3*a^13*b
^6 + 40*C^3*a^3*b^16 - 40*C^3*a^4*b^15 + 1396*C^3*a^5*b^14 + 204*C^3*a^6*b^13 + 8281*C^3*a^7*b^12 + 16999*C^3*
a^8*b^11 - 64479*C^3*a^9*b^10 - 57345*C^3*a^10*b^9 + 155991*C^3*a^11*b^8 + 82337*C^3*a^12*b^7 - 193689*C^3*a^1
3*b^6 - 62030*C^3*a^14*b^5 + 135260*C^3*a^15*b^4 + 24400*C^3*a^16*b^3 - 50800*C^3*a^17*b^2 + 8*A*C^2*a*b^18 +
32*A^2*C*a*b^18 - 8*A*C^2*a^2*b^17 + 448*A*C^2*a^3*b^16 + 192*A*C^2*a^4*b^15 + 4359*A*C^2*a^5*b^14 + 9657*A*C^
2*a^6*b^13 - 25211*A*C^2*a^7*b^12 - 24901*A*C^2*a^8*b^11 + 53039*A*C^2*a^9*b^10 + 29513*A*C^2*a^10*b^9 - 60729
*A*C^2*a^11*b^8 - 19233*A*C^2*a^12*b^7 + 41046*A*C^2*a^13*b^6 + 7080*A*C^2*a^14*b^5 - 15360*A*C^2*a^15*b^4 - 1
200*A*C^2*a^16*b^3 + 2400*A*C^2*a^17*b^2 + 32*A^2*C*a^2*b^17 + 672*A^2*C*a^3*b^16 + 1760*A^2*C*a^4*b^15 - 3156
*A^2*C*a^5*b^14 - 3196*A^2*C*a^6*b^13 + 5944*A^2*C*a^7*b^12 + 3448*A^2*C*a^8*b^11 - 6336*A^2*C*a^9*b^10 - 1983
*A^2*C*a^10*b^9 + 4152*A^2*C*a^11*b^8 + 684*A^2*C*a^12*b^7 - 1548*A^2*C*a^13*b^6 - 120*A^2*C*a^14*b^5 + 240*A^
2*C*a^15*b^4))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23 + 10*a^4*b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*a^7*b^1
9 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) + ((C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(((C*a^2*10i + b^2
*(A*1i + (C*1i)/2))*((4*(8*A*b^27 + 4*C*b^27 - 24*A*a^2*b^25 + 128*A*a^3*b^24 + 40*A*a^4*b^23 - 220*A*a^5*b^22
- 60*A*a^6*b^21 + 220*A*a^7*b^20 + 60*A*a^8*b^19 - 140*A*a^9*b^18 - 28*A*a^10*b^17 + 52*A*a^11*b^16 + 4*A*a^1
2*b^15 - 8*A*a^13*b^14 + 52*C*a^2*b^25 - 160*C*a^3*b^24 - 316*C*a^4*b^23 + 816*C*a^5*b^22 + 724*C*a^6*b^21 - 1
764*C*a^7*b^20 - 896*C*a^8*b^19 + 2076*C*a^9*b^18 + 640*C*a^10*b^17 - 1404*C*a^11*b^16 - 248*C*a^12*b^15 + 516
*C*a^13*b^14 + 40*C*a^14*b^13 - 80*C*a^15*b^12 - 32*A*a*b^26))/(a*b^25 + b^26 - 5*a^2*b^24 - 5*a^3*b^23 + 10*a
^4*b^22 + 10*a^5*b^21 - 10*a^6*b^20 - 10*a^7*b^19 + 5*a^8*b^18 + 5*a^9*b^17 - a^10*b^16 - a^11*b^15) + (8*tan(
c/2 + (d*x)/2)*(C*a^2*10i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*(8*a*b^25 - 8*a^2*b^24 - 48*a^3*b^23 + 48*a^4*b^22 + 120*a^
5*b^21 - 120*a^6*b^20 - 160*a^7*b^19 + 160*a^8*b^18 + 120*a^9*b^17 - 120*a^10*b^16 - 48*a^11*b^15 + 48*a^12*b^
14 + 8*a^13*b^13 - 8*a^14*b^12))/(b^6*(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17 + 10*a^5*b^16 - 1
0*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10))))/b^6 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(4*
A^2*b^18 + 800*C^2*a^18 + C^2*b^18 - 8*A^2*a*b^17 - 2*C^2*a*b^17 - 800*C^2*a^17*b + 44*A^2*a^2*b^16 + 48*A^2*a
^3*b^15 - 92*A^2*a^4*b^14 - 120*A^2*a^5*b^13 + 156*A^2*a^6*b^12 + 160*A^2*a^7*b^11 - 164*A^2*a^8*b^10 - 120*A^
2*a^9*b^9 + 117*A^2*a^10*b^8 + 48*A^2*a^11*b^7 - 48*A^2*a^12*b^6 - 8*A^2*a^13*b^5 + 8*A^2*a^14*b^4 + 35*C^2*a^
2*b^16 - 68*C^2*a^3*b^15 + 209*C^2*a^4*b^14 - 350*C^2*a^5*b^13 - 45*C^2*a^6*b^12 + 3640*C^2*a^7*b^11 - 3325*C^
2*a^8*b^10 - 10430*C^2*a^9*b^9 + 10385*C^2*a^10*b^8 + 14812*C^2*a^11*b^7 - 14837*C^2*a^12*b^6 - 11522*C^2*a^13
*b^5 + 11522*C^2*a^14*b^4 + 4720*C^2*a^15*b^3 - 4720*C^2*a^16*b^2 + 4*A*C*b^18 - 8*A*C*a*b^17 + 60*A*C*a^2*b^1
6 - 112*A*C*a^3*b^15 + 276*A*C*a^4*b^14 + 840*A*C*a^5*b^13 - 1284*A*C*a^6*b^12 - 2240*A*C*a^7*b^11 + 2588*A*C*
a^8*b^10 + 3080*A*C*a^9*b^9 - 3124*A*C*a^10*b^8 - 2352*A*C*a^11*b^7 + 2322*A*C*a^12*b^6 + 952*A*C*a^13*b^5 - 9
52*A*C*a^14*b^4 - 160*A*C*a^15*b^3 + 160*A*C*a^16*b^2))/(a*b^20 + b^21 - 5*a^2*b^19 - 5*a^3*b^18 + 10*a^4*b^17
+ 10*a^5*b^16 - 10*a^6*b^15 - 10*a^7*b^14 + 5*a^8*b^13 + 5*a^9*b^12 - a^10*b^11 - a^11*b^10)))/b^6))*(C*a^2*1
0i + b^2*(A*1i + (C*1i)/2))*2i)/(b^6*d) - ((tan(c/2 + (d*x)/2)*(20*C*a^8 + C*b^8 + 12*A*a^2*b^6 - 4*A*a^3*b^5
- 6*A*a^4*b^4 + A*a^5*b^3 + 2*A*a^6*b^2 - 11*C*a^2*b^6 + 21*C*a^3*b^5 + 57*C*a^4*b^4 - 27*C*a^5*b^3 - 59*C*a^6
*b^2 - 7*C*a*b^7 + 10*C*a^7*b))/(b^5*(a + b)*(a - b)^3) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^9*(20*C*a^8 + C*b^8 + 12*A*a^2*b
^6 + 4*A*a^3*b^5 - 6*A*a^4*b^4 - A*a^5*b^3 + 2*A*a^6*b^2 - 11*C*a^2*b^6 - 21*C*a^3*b^5 + 57*C*a^4*b^4 + 27*C*a
^5*b^3 - 59*C*a^6*b^2 + 7*C*a*b^7 - 10*C*a^7*b))/(b^5*(a + b)^3*(a - b)) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(120*C*a^9
- 6*C*b^9 + 60*A*a^3*b^6 - 8*A*a^4*b^5 - 37*A*a^5*b^4 + 3*A*a^6*b^3 + 12*A*a^7*b^2 - 3*C*a^2*b^7 - 111*C*a^3*b
^6 + 45*C*a^4*b^5 + 369*C*a^5*b^4 - 71*C*a^6*b^3 - 364*C*a^7*b^2 + 21*C*a*b^8 + 30*C*a^8*b))/(3*b^5*(a + b)^2*
(a - b)^3) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(120*C*a^9 + 6*C*b^9 + 60*A*a^3*b^6 + 8*A*a^4*b^5 - 37*A*a^5*b^4 - 3*A*a^
6*b^3 + 12*A*a^7*b^2 + 3*C*a^2*b^7 - 111*C*a^3*b^6 - 45*C*a^4*b^5 + 369*C*a^5*b^4 + 71*C*a^6*b^3 - 364*C*a^7*b
^2 + 21*C*a*b^8 - 30*C*a^8*b))/(3*b^5*(a + b)^3*(a - b)^2) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(180*C*a^10 + 9*C*b^10 -
36*A*a^2*b^8 + 110*A*a^4*b^6 - 62*A*a^6*b^4 + 18*A*a^8*b^2 + 36*C*a^2*b^8 - 324*C*a^4*b^6 + 740*C*a^6*b^4 - 61
1*C*a^8*b^2))/(3*b^5*(a + b)^3*(a - b)^3))/(d*(tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(3*a*b^2 + 9*a^2*b + 5*a^3 - b^3) - tan(c/
2 + (d*x)/2)^4*(6*a*b^2 - 6*a^2*b - 10*a^3 + 2*b^3) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(6*a*b^2 + 6*a^2*b - 10*a^3 - 2*b^3
) + 3*a*b^2 + 3*a^2*b + a^3 + b^3 + tan(c/2 + (d*x)/2)^10*(3*a*b^2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3) + tan(c/2 + (d*x)/2)
^8*(3*a*b^2 - 9*a^2*b + 5*a^3 + b^3)))